阿罗对社会福利函数（social welfare function, SWF ）的定义也是非常一般化的。社会福利函数指的是在社会备选项集合上、基于个体成员的偏好而决定社会偏好的任何规则。更准确地说，由于个体偏好可能不会被预先知晓，故而SWF是一个函数：它必须基于个体可能拥有的每一组不同的偏好结构，亦即在每个可能出现的社会偏好组合（profile）的基础上，确定社会偏好。

    最为有名的社会福利函数或许是多数规则（majority rule）。孔多塞本人在选举时特别予以支持。在多数规则之下，假如对于给定的偏好组合而言，有更多的个体喜欢a胜于b，那么社会也会喜欢a胜于b。

    阿罗的小册子取得重大影响的第二个原因，是那强大有力而又出人意料的“不可能定理”，这构成了此书的一个核心发现。阿罗发现，并不存在任何社会福利函数，同时满足一些自然而然、看上去毫不苛刻的条件。这些条件是：

    不限定域条件（unrestricted domain，U）：SWF必须在任何逻辑上可能的偏好组合上决定社会偏好，不应当对人们可能具有的偏好施加限制。

    帕累托性质（Pareto property，P）：如果所有的个人都认为备选项a胜于b，则社会也必定认为a胜于b。

    无关备选项的独立性（independence of irrelevant alternatives，IIA）：如果有两个偏好组合，在这两个偏好组合里，所有人对于a和b的优劣排序都是相同的，那么，在这两个组合上，社会对于a和b的排序也应当相同。换言之，在a和b之间的社会偏好只取决于这两个备选项上的个体偏好——而与任何第三个备选项的偏好无关。

    非独裁性（nondictatorship，ND）：没有任何社会成员可以为所欲为。这里“为所欲为”的意思是：在任何偏好组合上，社会偏好总是和某个社会成员的偏好相一致。

    传递性（transtivity，T）：对于任何偏好组合，如果社会偏好a胜于b，b胜于c，则社会偏好a胜于c。

    不可能定理表明：假如社会备选项集合的备选项数量不少于三个，那么，不存在SWF可以同时满足U、P、IIA、ND和T。

    值得注意的是：为什么多数规则不构成这个定理的反例？正如孔多塞指出的，多数规则违反了传递性。假设存在三个备选项a、b和c，考虑一个偏好组合，其中35%的人认为a胜于b，b胜于c；33%的人认为b胜于c，c胜于a；32%的人认为c胜于a，a胜于b。此时，有67%的人认为a胜于b，所以，社会应当认为a胜于b。同样地，社会应当认为b胜于c（因为68%的人认为b胜于c），但社会也同时认为c胜于a（因为65%的人认为c胜于a），故而，T被违反了。

    多数追随着《社会选择与个人价值》的思路而展开研究的文献，试图通过放松一个或多个阿罗给出的条件来避免不可能定理的结果。ND条件已经十分温和，以至于放松它看上去是毫无意义的。对于P条件，似乎也可以做如是说[但罗伯特·威尔森（Robert Wilson）在这个方向上作了有趣的工作]。与此形成对照的是，T条件被某些人[特别地，可参看詹姆斯·布坎南（James Buchanan）的著作]看做是一个太强的要求。然而，放松T条件并不会让我们远远地甩开不可能性的结果。 

    但是，对U条件的放松——这意味着对个体偏好的范围作出若干限制——被证明是成果斐然的。甚至早在阿罗之前，邓肯·布莱克（Duncan Blake）就在一些应用性的讨论中证明，对于偏好的一种自然的限制，就可以保证多数规则满足T条件（换言之，它排除了我刚才举出的那个违反T条件的例子）。在后续的工作中，阿马蒂亚·森刻画了所有可能的“使多数规则满足传递性”的偏好限制的特征，同时，伊胡德·卡莱（Ehud Kalai）和埃坦·穆勒（Eitan Muller） 和我 各自独立地刻画出了所有可能的偏好限制，在这些偏好限制下，存在着满足阿罗的其他条件的SWF。在近期的工作中，帕夏·达斯古普塔（Partha Dasgupta）和我证明，少数服从多数是有道理的——多数规则在更广泛的偏好域上满足阿罗的各项条件(甚至满足更强的条件），这一点胜过了其他所有的社会福利函数。 

    阿罗列举的诸条件中争议最大的一条是IIA，对它的放松带来了最为庞大繁复的文献。如前所述，IIA排除了人际间的比较：设想一个两人社会，在两个偏好组合里，个体1均偏好a胜于b，个体2均偏好b胜于a，那么，IIA就要求在这两个偏好组合上对于a和b的社会偏好要一模一样——尽管有这样的可能，在一个偏好组合上，个体1强烈地认为a胜于b，而个体2仅仅认为b稍好于a；在另一个偏好组合上，他们的偏好强烈程度恰好相反。故而，在涉及人际间比较的大量文献中，IIA被弱化，以使得不同个体偏好强度之间的差异可以被反映在SWF之中（尽管在实际的选举之中纳入这种对偏好强度差异的考虑，则会困难重重）。近年来出现的一些文献，对于IIA进行了其他重要的放松，比较突出的是马克·福勒拜（Marc Fleurbaey）和弗朗西斯·马尼凯（Francois Maniquet）的研究，以及米歇尔·巴林斯基（Michel Balinski）和里达·乐拉基（Rida Laraki）的研究。