《椭圆曲线故事集：曲线、计数与数论》是一部以椭圆曲线为核心，讲述数论中深刻思想与美妙猜想的数学读物。作者通过引人入胜的故事形式，引领读者探索椭圆曲线的代数、几何与数论性质，最终聚焦于著名的BSD猜想（贝赫-斯维纳通－戴尔猜想）。这一猜想是克雷数学研究所“千禧年七大数学问题”之一，揭示了椭圆曲线有理点的结构与其L函数之间的深刻联系。
　　书中分为三个主要部分：第一部分介绍了曲线的次数、代数闭包、射影平面等基本概念，为理解椭圆曲线奠定基础；第二部分深入探讨椭圆曲线的代数结构，包括阿贝尔群、三次方程、奇点及其数论性质；第三部分则连接椭圆曲线与分析工具，揭示其背后的数学魅力。
　　作者以轻松而不失严谨的方式，将复杂的数学理论转化为易于理解的故事，既适合数学爱好者，也适合有一定数学背景的读者。通过《椭圆曲线故事集：曲线、计数与数论》，读者不仅能感受椭圆曲线的优雅，还能体会到数论中未解之谜的深邃与迷人。

序幕 1

第Ⅰ部分 次数
第1章 曲线的次数 15
1.古希腊数学 15
2.次数 17
3.参数方程 22
4.“次数”的两个定义相抵牾 25
第2章 代数闭包 29
1.－1的平方根 29
2.复数的运算 31
3.环与域 33
4.复数与解方程 36
5.同余 38
6.模素数的算术 41
7.代数闭包 42
第3章&nbs

序幕 1

第Ⅰ部分 次数
第1章 曲线的次数 15
1.古希腊数学 15
2.次数 17
3.参数方程 22
4.“次数”的两个定义相抵牾 25
第2章 代数闭包 29
1.－1的平方根 29
2.复数的运算 31
3.环与域 33
4.复数与解方程 36
5.同余 38
6.模素数的算术 41
7.代数闭包 42
第3章 射影平面 46
1.无穷远点 46
2.直线上的射影坐标 51
3.平面上的射影坐标 55
4.代数曲线和无穷远点 59
5.射影曲线的齐次化 61
6.坐标拼片 66
第4章 重数与次数 71
1.作为代数簇的曲线 71
2.重数 73
3.相交数 75
4.“傻瓜式”微积分 79
第5章 贝祖定理 85
1.证明概要 85
2.一个很有启发性的例子 91

第Ⅱ部分 椭圆曲线与代数
第6章 走进椭圆曲线 97
第7章 阿贝尔群 103
1.无穷大是多大？ 103
2.什么是阿贝尔群？ 104
3.生成 107
4.扭 110
5.大小有“秩” 113
附录：秩和扭的一个有趣例子 115
第8章 非奇异三次方程 121
1.群运算法则 121
2.坐标变换 124
3.判别式 126
4.群运算法则的代数细节 127
5.数值计算的例子 130
6.拓扑 132
7.椭圆曲线的其他重要事实 136
8.两个数值计算的例子 138
第9章 奇异三次曲线 141
1.奇点与群结构 142
2.奇点的坐标 142
3.加性约化 143
4.分裂乘性约化 145
5.非分裂乘性约化 147
6.数点 151
7.结论 152
附录A：改变奇点的坐标 153
附录B：加性约化详解 154
附录C：分裂乘性约化详解 156
附录D：非分裂乘性约化详解 157
第10章 Q上的椭圆曲线 159
1.基本的群结构 159
2.扭点 160
3.无限阶的点 162
4.例子 163

第Ⅲ部分 椭圆曲线与分析

尾声 255

参考文献 259

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